CADERNO TÉCNICO · CREATIO

Análise cinemática e dinâmica

Da definição da forma à previsão do movimento. Um espaço para reunir a formulação, as hipóteses físicas e os resultados da investigação.

Cinco estudos documentados: CT–01, CT–02, EN–01, EN–02 e EN–02R. Cada um inclui uma síntese que distingue resultados deduzidos, verificações numéricas e limitações do modelo. As ferramentas interativas e vistas comparativas estão identificadas separadamente.

01 · Fundamentos

Definições matemáticas e hipóteses comuns aos estudos.

CT–01 · NOTA TÉCNICA

Formalização matemática

CT–01 · Analítico

Síntese do estudo

Objetivo: Formalizar a superfície e separar geometria, movimento do padrão e movimento de uma massa.
Método: Parametrização original, derivação pela regra da cadeia e formulação inicial por Lagrange.
Resultados obtidos: Obtiveram-se as expressões de posição, velocidade, aceleração, normal e velocidade angular do padrão: α̇p = −φ̇ₐ/Kₐ. A formulação distingue movimento geométrico de transporte dinâmico.
Âmbito e limitações: A formulação não demonstra que uma massa acompanhe a cavidade. O modelo pontual inicial é desenvolvido nos estudos EN–02 e EN–02R para uma esfera com raio, inércia e atrito.

Versão 0.1 · 19 setembro 2026 · Formulação preliminar para revisão

Esta nota sistematiza a parametrização CREATIO e propõe uma primeira estrutura de análise. As relações cinemáticas resultam da regra da cadeia; o modelo dinâmico abaixo é uma aproximação de massa pontual sobre uma superfície de movimento prescrito.

1. Geometria e parâmetros

A superfície CREATIO é descrita pela parametrização $c (α, R, t)$ em coordenadas cartesianas. O parâmetro $R$ mede a distância ao raio interior na superfície de referência; $α$ é a coordenada angular e $t$ representa o tempo.

0 < R_{0} < R_{1}, Δ R = R_{1} - R_{0}

R \in [0, Δ R], α \in [0, 2 π]

A \geq 0, K_{r}, K_{a} \in N_{>0}, t \geq 0

A ondulação combina uma componente radial e uma componente angular:

W (α, R, t) = A \sin (\frac{2 π K_{r} R}{Δ R} + φ_{r} (t)) \cos (K_{a} α + φ_{a} (t))

(1)

A inclinação $γ (t)$ transforma o plano radial–vertical. Definindo o raio projetado:

ρ (α, R, t) = R_{0} + R \cos (γ (t)) - W (α, R, t) \sin (γ (t))

(2)

c (α, R, t) = (\begin{array}{c} ρ (α, R, t) \cos (α) \\ ρ (α, R, t) \sin (α) \\ R \sin (γ (t)) + W (α, R, t) \cos (γ (t)) \end{array})

(3)

No caso de referência $γ \equiv 0$ , a expressão reduz-se a:

c (α, R, t) = (\begin{array}{c} (R_{0} + R) \cos (α) \\ (R_{0} + R) \sin (α) \\ W (α, R, t) \end{array})

(4)

$A$ é a amplitude; $K_{r}$ e $K_{a}$ são os números de ciclos radial e angular. As fases $φ_{r} (t)$ e $φ_{a} (t)$ e a inclinação $γ (t)$ são funções reais do tempo. Todos os ângulos nas equações são expressos em radianos.

A periodicidade angular é assegurada por $K_{a} \in N_{>0}$ : os extremos $α = 0$ e $α = 2 π$ representam a mesma posição. Na família inclinada considera-se $- \frac{π}{2} \leq γ (t) \leq \frac{π}{2}$ .

Na animação, uma fase pode variar linearmente; a inclinação pode oscilar sinusoidalmente:

φ_{a} (t) = φ_{a} (0) + ω t

(5)

γ (t) = γ_{0} + G \sin (Ω t)

(6)

Aqui, $ω$ é a taxa de variação da fase, $Ω$ a frequência angular da oscilação e $G$ a amplitude angular não negativa, com $| γ_{0} | + G \leq \frac{π}{2}$ . A fase radial admite a mesma lei linear. Estes modelos descrevem a evolução geométrica; não constituem uma simulação das forças de contacto.

2. Regularidade e orientação da superfície

Admite-se uma parametrização duas vezes continuamente diferenciável no domínio de análise. A normal unitária é definida nos pontos regulares por:

n = \frac{c_{α} \times c_{R}}{‖ c_{α} \times c_{R} ‖}, ‖ c_{α} \times c_{R} ‖ > 0

(7)

Os índices α e R indicam derivadas parciais. A normal pode ser invertida para apontar para o lado acessível à massa. A regularidade local, a ausência de auto-interseções e os limites de deformação devem ser verificados para cada conjunto de parâmetros.

3. Cinemática: superfície, padrão e massa

Considere-se q = (α, R) e a trajetória x(t) = c(q(t), t). Nos índices seguintes, q₁ = α e q₂ = R; índices repetidos i, j representam somas de 1 a 2. As derivadas temporais parciais são calculadas mantendo q fixo.

\dot{x} = c_{t} + c_{i} \dot{q_{i}}

(8)

\ddot{x} = c_{tt} + 2 c_{ti} \dot{q_{i}} + c_{ij} \dot{q_{i}} \dot{q_{j}} + c_{i} \ddot{q_{i}}

(9)

Aqui cᵢ = ∂c/∂qᵢ, cᵢⱼ = ∂²c/(∂qᵢ∂qⱼ), cₜᵢ = ∂²c/(∂t∂qᵢ) e cₜₜ = ∂²c/∂t². Os pontos sobre q indicam derivadas totais no tempo. A velocidade cₜ é a velocidade da parametrização a coordenadas fixas; só coincide com a velocidade material da membrana se essas coordenadas identificarem pontos materiais.

Para Kₐ constante e uma fase angular constante do padrão, Kₐαₚ + φₐ(t) = constante, obtém-se:

{\dot{α}}_{p} = - \frac{\dot{φ_{a}}}{K_{a}}

(10)

Esta é a velocidade angular do padrão de fase. Não determina a velocidade de uma esfera nem garante que esta acompanhe uma cavidade. A sua trajetória depende das condições iniciais, das forças e do contacto.

4. Modelo dinâmico inicial

Hipóteses: referencial inercial; superfície prescrita; massa pontual m constante; contacto mantido numa região regular; reação normal ideal. A deformação da membrana causada pela carga e a dinâmica dos atuadores não estão incluídas nesta primeira aproximação.

T = \frac{m}{2} {‖ c_{t} + c_{i} \dot{q_{i}} ‖}^{2}, L = T - V

(11)

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = Q_{i}

(12)

V(q,t) é a energia potencial avaliada sobre a superfície. Qᵢ = fₙ꜀ · cᵢ representa a força generalizada não conservativa. Para deslizamento ideal sem atrito e sem outras forças não conservativas, Qᵢ = 0. Em gravidade uniforme, V = −m g · c. Como a superfície se move, a energia mecânica da massa não é, em geral, conservada: há trabalho da atuação.

m \ddot{x} = m g + N n + f_{τ}, N \geq 0

(13)

Nesta escrita, N é a reação normal e fτ é a força tangencial de contacto; consideram-se apenas gravidade e contacto. Se a solução exigir N < 0, o contacto unilateral deixa de ser admissível e deve ser tratada a separação. Uma esfera de raio finito exige uma superfície deslocada para o centro, inércia de rotação e uma lei de atrito/rolamento: não se identifica o centro da esfera com c.

5. Extensão aeroespacial

\dot{H_{O}} = τ_{ext,O}

(14)

Hₒ é o momento angular total e τext,O o momento das forças externas, ambos relativos a uma origem O fixa num referencial inercial. O sistema completo deve incluir estrutura, membrana, atuadores e massas móveis. Na ausência de momento externo, Hₒ conserva-se; movimentos internos podem redistribuir momento angular e alterar a orientação. O cálculo da atitude requer um modelo acoplado, não apenas a animação geométrica.

Em microgravidade, o mecanismo que mantém as massas em contacto deve ser explicitado — por exemplo, confinamento mecânico ou interação magnética modelada. As hipóteses desta nota são propostas de trabalho, não resultados de validação do CREATIO.

02 · Cinemática

Geometria, derivadas, regularidade e movimento prescrito do padrão.

CT–02 · CINEMÁTICA ESPACIAL

Da superfície ao espaço cinemático

CT–02 · Analítico + verificação numérica

Síntese do estudo

Objetivo: Caracterizar a família geométrica contínua entre γ = 0° e 90°.
Método: Derivadas analíticas, trajetórias de fase e passo helicoidal; diferenças finitas em 19 inclinações, com 12 960 amostras por passo e casos adicionais de γ variável.
Resultados obtidos: A mesma equação descreve o anel, superfícies cónicas corrugadas e o limite cilíndrico. Provou-se J ≥ 0,50 u para os parâmetros estudados. A convergência das diferenças finitas é de segunda ordem; o erro máximo das velocidades de trajetória foi 3,74 × 10⁻¹² u/s.
Âmbito e limitações: Regularidade local não prova ausência global de autointerseções. As trajetórias de fase não são trajetórias dinâmicas de uma esfera. As unidades u são unidades de comprimento do modelo.

A equação original CREATIO define uma família geométrica contínua. Aqui varia apenas γ entre 0° e 90°; a amplitude reduzida e os restantes parâmetros mantêm-se fixos. Este capítulo desenvolve CT–01 sem substituir a formulação nem os ensaios numéricos existentes.

γ 0°

R₀ = 0.68 u · ΔR = 1.72 u · A = 0.18 u · Kᵣ = 1 · Kₐ = 6 · φᵣ = 0 · φₐ = 29°

1 · Parametrização original e limites geométricos

ΔR = R₁ − R₀, k = 2πKᵣ/ΔR, u = kR + φᵣ(t), v = Kₐα + φₐ(t)

W = A sin u cos v
ρ = R₀ + R cos γ − W sin γ
c(α,R,t) = (ρ cos α, ρ sin α, R sin γ + W cos γ)

Domínio: R ∈ [0, ΔR], α ∈ [0, 2π), γ ∈ [0, π/2], R₀ > 0, ΔR > 0 e A ≥ 0. Kₐ é inteiro positivo para fecho angular; o site usa Kᵣ = 1. As equações usam radianos. O símbolo u acima é uma fase; a unidade “u” nos valores numéricos designa uma unidade de comprimento do modelo, não metros.

γ	Suporte médio W = 0	Superfície completa
0°	Anel plano	ρ = R₀ + R; z = W
0° < γ < 90°	ρ = R₀ + z cot γ	Superfície cónica corrugada
90°	ρ = R₀	ρ = R₀ − W; z = R

“Plano” descreve o suporte médio, não uma superfície deformada plana quando A ≠ 0. A 90°, a evolução da fase radial torna-se movimento axial da estrutura geométrica. Alterar γ configura a geometria; não demonstra, por si só, uma transformação fisicamente realizável da membrana.

2 · Derivadas, métrica e regularidade

Para A constante, definem-se a base cilíndrica ortonormal e a base meridiana rodada:

eρ = (cos α, sin α, 0), eα = (−sin α, cos α, 0), ez = (0,0,1)
eg = cos γ eρ + sin γ ez, en = −sin γ eρ + cos γ ez

W_R = Ak cos u cos v, W_α = −AKₐ sin u sin v
W_t = A(φ̇ᵣ cos u cos v − φ̇ₐ sin u sin v)
W_RR = −k²W, W_αα = −Kₐ²W, W_Rα = −AkKₐ cos u sin v

c_R = eg + W_Ren
c_α = ρeα + W_αen
c_t = (W_t + Rγ̇)en − Wγ̇eg

E = 1 + W_R², F = W_RW_α, G = ρ² + W_α²
J² = EG − F² = ρ²(1 + W_R²) + W_α²
n = [ρ(en − W_Reg) − W_αeα]/J

A normal usa cR × cα, como a visualização vetorial: ascendente para γ = 0 e dirigida para o interior para γ = 90 quando W = 0. É a orientação oposta à equação (7) de CT–01. Para 0 ≤ γ ≤ π/2, ρ ≥ R₀ − A. Assim, A < R₀ é condição suficiente global para J > 0. Com os parâmetros apresentados, J ≥ 0.50 u para qualquer fase e γ no intervalo.

R = (ρ − R₀) cos γ + z sin γ, W = −(ρ − R₀) sin γ + z cos γ

Quando ρ > 0, α é recuperado de modo único módulo 2π e esta inversa recupera R. A superfície original sem máscara é, portanto, injetiva módulo a união angular em cada instante. Isto não estabelece a regularidade da superfície desfasada pelo raio de uma esfera, a estabilidade do contacto ou deformações admissíveis da membrana.

3 · Derivadas de segunda ordem e geometria temporal

W_Rt = Ak(−φ̇ᵣ sin u cos v − φ̇ₐ cos u sin v)
W_αt = −AKₐ(φ̇ᵣ cos u sin v + φ̇ₐ sin u cos v)
W_tt = A[φ̈ᵣ cos u cos v − φ̈ₐ sin u sin v − (φ̇ᵣ² + φ̇ₐ²) sin u cos v − 2φ̇ᵣφ̇ₐ cos u sin v]

c_RR = W_RRen
c_Rα = (cos γ − W_R sin γ)eα + W_Rαen
c_αα = −ρeρ − 2W_α sin γ eα + W_ααen
c_Rt = (W_Rt + γ̇)en − γ̇W_Reg
c_αt = [−W_t sin γ − γ̇(R sin γ + W cos γ)]eα + W_αten − γ̇W_αeg
c_tt = (W_tt + Rγ̈ − Wγ̇²)en − (2W_tγ̇ + Wγ̈ + Rγ̇²)eg

ẋ = c_t + c_iq̇ᵢ
ẍ = c_tt + 2c_tiq̇ᵢ + c_ijq̇ᵢq̇ⱼ + c_iq̈ᵢ, q = (R, α)

Somam-se os índices repetidos. Estas expressões pressupõem A constante; uma lei A(t) exige os termos adicionais da regra do produto. A velocidade a coordenadas fixas ct só é velocidade material se R e α identificarem pontos materiais.

4 · Estrutura localizada e trajetória espacial

Para A > 0, um ramo de mínimos de W é dado por sin u = 1 e cos v = −1. A outra família equivalente tem sin u = −1 e cos v = 1. Segue-se um ramo continuamente apenas enquanto Rc permanecer em [0, ΔR].

R_c = (π/2 − φᵣ + 2πn)/k, α_c = (π − φₐ + 2πm)/Kₐ, m,n ∈ ℤ
W_c = −A, ∇W_c = 0, Hess W_c = diag(Ak², AKₐ²)
ρ_c = R₀ + R_c cos γ + A sin γ
z_c = R_c sin γ − A cos γ
C(t) = (ρ_c cos α_c, ρ_c sin α_c, z_c)

Estes são mínimos da deformação escalar W, não necessariamente mínimos do potencial gravítico na superfície inclinada. C é a posição de uma estrutura geométrica; não é o centro de uma esfera de raio finito.

Ṙ_c = −φ̇ᵣ/k, α̇_c = −φ̇ₐ/Kₐ
R̈_c = −φ̈ᵣ/k, α̈_c = −φ̈ₐ/Kₐ

Para γ e A constantes:

Ċ = Ṙ_c cos γ eρ + ρ_cα̇_ceα + Ṙ_c sin γ ez
‖Ċ‖² = Ṙ_c² + ρ_c²α̇_c²
C̈ = (R̈_c cos γ − ρ_cα̇_c²)eρ + (2Ṙ_c cos γ α̇_c + ρ_cα̈_c)eα + R̈_c sin γ ez

Para γ(t), aplica-se a regra da cadeia completa acima ou derivam-se diretamente ρc e zc:

ρ̇_c = Ṙ_c cos γ + (A cos γ − R_c sin γ)γ̇
ż_c = Ṙ_c sin γ + (R_c cos γ + A sin γ)γ̇

5 · Controlo de fase e passo helicoidal

Com φᵣ = φᵣ₀ + Ωᵣt e φₐ = φₐ₀ + Ωₐt, γ constante e Ωₐ ≠ 0, o avanço orientado na geratriz por variação positiva de 2π em α é:

dR_c/dα_c = (ΔR/2π)(Kₐ/Kᵣ)(Ωᵣ/Ωₐ)
p_R = ΔR(Kₐ/Kᵣ)(Ωᵣ/Ωₐ), p_z = p_R sin γ, p_ρ = p_R cos γ

γ = 0: círculo quando Ωᵣ = 0, espiral plana de Arquimedes caso contrário. γ intermédio: trajetória circular quando Ωᵣ = 0, espiral/traçado helicoidal cónico caso contrário. γ = 90°: círculo quando Ωᵣ = 0, hélice cilíndrica caso contrário. Se Ωₐ = 0, o movimento segue uma meridiana e o passo não está definido. Uma volta completa só é possível se todo o intervalo radial couber no domínio finito; não se presume retorno ou salto entre cavidades nas fronteiras.

Alterar os sinais e a razão das velocidades de fase altera o sentido e o passo. As equações geométricas não impõem limites de força, aceleração ou energia dos atuadores; a inversão física continua a exigir análise dinâmica.

6 · Ativação espacial e interpretação física

S = S₀ + M(R,α,t)Wen, 0 ≤ M ≤ 1
S₀ = (R₀ + R cos γ)eρ + R sin γ ez

γ seleciona a família geométrica, as fases deslocam estruturas e M seleciona a região ativa. A visualização e a verificação deste capítulo usam M = 1. Para uma máscara suave, substitui-se W por MW e incluem-se todas as derivadas de M. Uma máscara binária abrupta pode quebrar a suavidade; o produto pode deslocar extremos, pelo que as fórmulas da cavidade acima se aplicam sem alterações apenas onde M é localmente constante e igual a 1.

Fazer um corpo seguir uma estrutura exige um modelo de contacto/confinamento, desfasamento do centro da esfera, forças, atrito, dinâmica de atuação e medições experimentais. Não se afirma aqui nova validação física do transporte ou de ADCS. O ensaio terrestre EN–02 existente continua específico de γ = 0.

7 · Verificação reproduzível entre 0° e 90°

Novo cálculo para CT–02 · 3 de outubro de 2026. Compararam-se diferenças finitas centrais da equação cartesiana com cR, cα e ct analíticos. Cada passo usa 12 960 amostras: 19 inclinações espaçadas de 5° × 9 posições radiais × 24 ângulos × 3 instantes, mais 648 amostras com γ variável no tempo.

Fases de verificação: φᵣ = 0.23 + 0.31t; φₐ = 0.5 + 0.47t; instantes 0, 0.37, 1.11 s. Lei adicional: γ = π/4 + 0.04 sin(0.7t). A geometria coincide com o visualizador; as fases diferem para exercitar ambas as derivadas de fase. hR = h·1 u, hα = h·1 rad e ht = h·1 s. As fronteiras radiais usam a extensão suave. Os erros abaixo são máximos euclidianos absolutos, não relativos.

h	cR (1)	cα (u)	ct (u/s)
1.000e-02	1.250e-04	6.217e-04	1.055e-06
3.000e-03	1.125e-05	5.597e-05	9.497e-08
1.000e-03	1.250e-06	6.219e-06	1.055e-08
3.000e-04	1.125e-07	5.597e-07	9.498e-10
1.000e-04	1.250e-08	6.219e-08	1.050e-10
1.000e-05	1.402e-10	6.814e-10	4.421e-11

Reduzir h de 10⁻² para 10⁻³ reduz os principais erros das derivadas aproximadamente 100 vezes, compatível com convergência de segunda ordem. A identidade analítica de J difere da norma do produto vetorial no máximo 1.332e-15 u; o máximo produto normal–tangente normalizado é 2.119e-16. O erro de fecho angular é 3.265e-15 u. O limite global J ≥ 0.50 u é analítico e não inferido da amostragem.

As verificações da trajetória da estrutura nas 19 inclinações e em t = 0, 0.2, 0.5 s dão erro máximo de velocidade 3.741e-12 u/s e de aceleração 5.724e-08 u/s² (h = 10⁻⁴ s). O passo coincide algebricamente. O tensor completo das derivadas de segunda ordem está deduzido acima, mas não é testado exaustivamente por este programa. Trata-se de verificação matemática e numérica da implementação, não de validação experimental.

CSV · JSON · Reproduzir o estudo · Python

EXPLORAÇÃO GEOMÉTRICA

Velocidade e normal à superfície

Ferramenta de exploração cinemática: mostra velocidade e normal calculadas analiticamente num ponto. Não constitui um novo ensaio dinâmico; a verificação das derivadas está documentada em EN–01.

Selecione um ponto P pela coordenada angular α e pela coordenada radial R. As setas e os valores são calculados analiticamente a partir da parametrização CREATIO.

Vetores a visualizar Vetor velocidade v Vetor normal n

n — normal unitáriav — velocidade a coordenadas fixas

Velocidade (x; y; z)

Normal (x; y; z)

Módulo ‖v‖

Instante

A ampliação × altera apenas o desenho da seta. O módulo da velocidade mantém-se indicado em u/s; uma velocidade nula não produz seta.

Posição angular α 35 °Coordenada radial R 0.6 uAmplitude A 0.18 uInclinação de referência γ₀ 15 °Taxa / frequência ω 0.5 rad/sInstante t 0 sOrientação da vista -25 °Ampliação visual da velocidade 1 ×

Definições, unidades e leitura das setas

v = ∂c/∂t, mantendo α e R fixos. Não é a velocidade de uma massa livre nem, sem uma identificação material das coordenadas, a velocidade material da membrana. A animação inicia-se apenas ao selecionar «Animar».

A normal mostrada é n = (cR × cα)/‖cR × cα‖, orientada para cima no caso plano γ = 0. Tem sentido oposto à convenção da equação (7), uma das duas orientações admissíveis. É adimensional; a seta tem comprimento gráfico fixo de 0,65 u.

u designa uma unidade de comprimento do modelo, sem assumir metros. A ampliação visual é um fator adimensional (×). A referência fixa associa uma velocidade de 0,10 u/s a um comprimento gráfico de 1,20 u quando o fator é ×1. O comprimento da seta mantém-se proporcional ao módulo da velocidade e ao fator selecionado; este controlo não altera a velocidade física. Os comprimentos das duas setas não comparam grandezas com as mesmas unidades. Os vetores são projetados numa vista 2D; leia os valores numéricos para obter os módulos reais.

R₀ = 0,68 u, R₁ = 2,40 u, Kᵣ = 1 e Kₐ = 6. No modo angular: φₐ = 0,5 + ωt e φᵣ = 0. No modo radial: φᵣ = ωt e φₐ = 0,5. Na oscilação: γ = γ₀ + (π/18) sen(ωt), com fases fixas φₐ = 0,5 e φᵣ = 0. Os ângulos usados no cálculo estão em radianos. A amplitude A é constante em cada evolução.

EN–01

Verificação cinemática — resultados

EN–01 · Verificação numérica + resultado analítico

Síntese do estudo

Objetivo: Verificar as derivadas implementadas, a regularidade e a velocidade do padrão.
Método: Comparação analítica/diferenças finitas em 16 524 pontos por passo; identidade do Jacobiano e ciclo angular de 120 s.
Resultados obtidos: Ao reduzir h de 10⁻² para 10⁻³, os erros diminuem aproximadamente 100 vezes. A normal mantém norma unitária e ortogonalidade, com erros inferiores a 4 × 10⁻¹⁶. O padrão percorre −360° e atinge 5,625°/s aos 60 s. A regularidade local tem o limite analítico J ≥ 0,50 m.
Âmbito e limitações: Verifica a implementação cinemática; não valida contacto, atuadores ou desempenho aeroespacial. Passos muito pequenos passam a ser dominados por arredondamento.

Ensaio EN–01 · 24 setembro 2026 · Verificação numérica da implementação e análise de regularidade local. Não constitui validação experimental nem validação da dinâmica de contacto.

Condições e método

Geometria ilustrativa em unidades SI: R₀ = 0,68 m, ΔR = 1,72 m, A = 0,18 m, k = 2π/ΔR e harmónica angular 6. R ∈ [0; 1,72] m e α periódico. São avaliados 16 524 pontos por passo: 17 posições radiais × 36 ângulos × 9 instantes × 3 leis temporais.

Casos: fase angular φₐ = 0,5 + 0,5t com Γ = π/12; fase radial φᵣ = 0,4t com Γ = π/4; caso combinado com ambas as fases e Γ(t) = π/4 + 0,3 sin(0,7t). No primeiro caso φᵣ = 0; no segundo φₐ = 0,5. t = 0; 0,37; …; 2,96 s. As amplitudes são constantes.

Comparação de cR, cα e ct analíticos com [c(q+h)−c(q−h)]/(2h), usando uma implementação independente das coordenadas. Passos: hR = h × 1 m, hα = h × 1 rad e ht = h × 1 s. Nos extremos radiais usa-se a extensão suave da equação para calcular diferenças centrais. O gráfico normaliza os erros por 1, 1 m e 1 m/s, respetivamente; não representa erro relativo à derivada, que pode anular-se.

1. Derivadas e convergência

A redução do passo de 10⁻² para 10⁻³ reduz os erros aproximadamente 100 vezes: convergência de segunda ordem. Para passos muito pequenos, o arredondamento de ponto flutuante passa a dominar; reduzir h indefinidamente não melhora a comparação.

Erros das três derivadas em função do passo

Máximos da norma euclidiana do erro
h	cR (1)	cα (m)	ct (m/s)
0.01	1.462e-04	6.896e-04	4.392e-06
0.003	1.316e-05	6.207e-05	3.953e-07
0.001	1.462e-06	6.897e-06	4.392e-08
0.0003	1.316e-07	6.207e-07	3.953e-09
0.0001	1.462e-08	6.897e-08	4.402e-10
1e-05	1.590e-10	7.400e-10	5.055e-11
1e-06	4.279e-10	5.829e-10	6.153e-10
1e-07	5.376e-09	9.002e-09	5.874e-09

2. Regularidade e normal

Com ρ = R₀ + R cos Γ − W sin Γ, obtém-se J² = ρ²(1 + WR²) + Wα². Para 0 ≤ Γ ≤ π/2 e os parâmetros acima, ρ ≥ 0,68 − 0,18 sin Γ ≥ 0,50 m, logo J ≥ 0,50 m. Assim, a parametrização é localmente regular em todo este domínio, para quaisquer fases. A demonstração não estabelece ausência de auto-interseções globais nem regularidade da superfície deslocada pelo raio da esfera.

A malha de regularidade usa 28 224 pontos por inclinação, de 0° a 90° em passos de 5°. Erro máximo na norma da normal: 3,33 × 10⁻¹⁶; produto escalar normalizado com as tangentes: 2,18 × 10⁻¹⁶. A identidade de J foi confirmada numericamente com discrepância máxima de 1,34 × 10⁻¹⁵ m.

Jacobiano positivo em toda a família estudada

3. Velocidade do padrão

Para o ciclo EN–02: φₐ(t) = 12π(10u³ − 15u⁴ + 6u⁵), u = t/120. A coordenada angular de fase constante satisfaz α̇p = −φ̇ₐ/6. O deslocamento é −360°, com arranque e paragem de velocidade nula. O máximo de |α̇p| é 0,09817477 rad/s = 5,625°/s aos 60 s. A comparação com diferenças finitas de passo 0,001 s dá erro máximo inferior a 7,95 × 10⁻¹¹ rad/s. Trata-se do movimento angular do padrão, não da rotação própria da esfera.

Velocidade angular do padrão ao longo de 120 segundos

Dados e reprodução

CSV · Convergência · CSV · Regularidade · CSV · Padrão · JSON · Código e dados do ensaio

O pacote inclui instruções para repetir o cálculo com Node.js. O resultado verifica a cinemática implementada; a validação dinâmica, o contacto e o comportamento físico do protótipo exigem ensaios próprios.

03 · Dinâmica

Forças, contacto, atrito e movimento calculado da esfera.

EN–02 · PRIMEIRO ENSAIO NUMÉRICO

Uma esfera. Um ciclo de 360°.

EN–02 · Simulação dinâmica numérica

Síntese do estudo

Objetivo: Avaliar transporte circular e rotação própria de uma esfera numa superfície prescrita.
Método: Esfera homogénea de 1 kg e raio 0,12 m; A = 0,18 m, γ = 0°, μ = 0,15, gravidade terrestre. Integração RK4 com Δt = 0,002 s e comparação a 0,001 s.
Resultados obtidos: No caso de referência, a esfera completa −360° em 120 s e termina ao raio 1,110 m. A reação normal mínima é 9,810 N. A diferença máxima entre passos é 6,04 × 10⁻¹¹ m e o resíduo energético máximo é 1,48 × 10⁻⁷ J.
Âmbito e limitações: Resultados de referência para μ = 0,15; alterar o seletor recalcula outro caso. Superfície prescrita, atrito regularizado e coordenadas materiais assumidas. Não há calibração experimental nem validação em microgravidade.

Superfície com inclinação γ = 0° e esfera inicialmente em repouso numa cavidade. A reação normal e o atrito tangencial determinam o transporte e a rotação. A trajetória e a orientação são calculadas conjuntamente.

Exemplo em unidades SI · m = 1 kg · raio da esfera = 0,12 m · gravidade = 9,81 m/s²

Coeficiente de atrito μ 0,15

Referência ilustrativa: μ = 0,15, adimensional. Altere para recalcular o ciclo; μ = 0 corresponde à ausência de atrito. Este valor não é uma medição do par tecido–metal.

VistaAspeto da superfície

Mostrar trajetóriaVetor solidário com a esfera

O vetor solidário começa vertical, normal ao plano de referência XY. A seta e a faixa dourada acompanham a orientação calculada da esfera; deixam de permanecer verticais quando ela roda. Com μ = 0 e rotação inicial nula, a orientação mantém-se fixa.

A preparar o cálculo da trajetória…

O traço colorido mostra a trajetória calculada do centro até ao instante selecionado, projetada sobre a superfície para ser visível; não é uma linha de contacto na membrana atual.

Deslizamento no contacto—

Força de atrito—

Rotação própria acumulada—

Velocidade angular própria—

Deslocamento da esfera—

Rotação do padrão—

Tempo físico—

Velocidade da esfera—

Reação normal—

Percorrer o ciclo

Descarregar resultados CSV Parâmetros e verificação

Modelo de atrito, rotação e método numérico

Dimensões ilustrativas: R₀ = 0,68 m, R₁ = 2,40 m, A = 0,18 m, Kᵣ = 1, Kₐ = 6. Esfera rígida homogénea: massa m = 1 kg, raio b = 0,12 m e momento de inércia I = 2mb²/5. Começa com R = 0,43 m, α = π/6, velocidade e rotação próprias nulas. A orientação inicial é a identidade; o vetor solidário começa em (0, 0, 1).

A geometria tem γ = 0° e fase radial nula. A fase angular prescrita é φₐ(t) = 12π(10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵), com τ = t/120. O padrão completa −360° em 120 s físicos, com arranque e paragem suaves. A reprodução ×8 dura cerca de 15 s.

O centro é X = c + b n. Assume-se que as coordenadas (R, α) identificam pontos materiais da superfície; a sua velocidade é ∂c/∂t a coordenadas fixas. O deslizamento é a componente tangencial de V + ω × (−b n) − ∂c/∂t, sendo V a velocidade do centro e ω a velocidade angular da esfera. Esta hipótese material é necessária para definir o atrito.

Usa-se atrito de Coulomb regularizado: fτ = −μN vslip / √(‖vslip‖² + ε²), com ε = 0,01 m/s. A força opõe-se ao deslizamento e satisfaz ‖fτ‖ ≤ μN. A regularização permite pequenas velocidades de deslizamento; não implementa aderência estática exata nem impõe rolamento puro.

Para q = (R, α), resolve-se (JᵀJ) q̈ = Jᵀ(g + fτ/m − a₀), onde J = ∂X/∂q e a₀ é a aceleração para q̇ constante. O momento de atrito é (−b n) × fτ e a equação rotacional é I ω̇ = (−b n) × fτ. A orientação é integrada por um quaternião unitário. A rotação própria acumulada indicada é ∫‖ω‖dt; não é um ângulo líquido em torno de um eixo fixo.

Integração Runge–Kutta de quarta ordem com passo de 0,002 s. Verificam-se contacto e limites do anel. O caso de referência é comparado com passo de 0,001 s. O balanço energético inclui energia translacional, rotacional, potencial, trabalho da superfície e dissipação por atrito. Os ficheiros descarregados correspondem ao coeficiente selecionado após o cálculo.

A superfície tem movimento prescrito e não se deforma sob a carga; o tecido e o metal são aparências visuais. O coeficiente de referência e a lei regularizada são hipóteses de um ensaio exploratório, sem calibração experimental. Não se deduz comportamento em microgravidade deste caso sob gravidade terrestre.

EN–02R · FASES CONJUGADAS

Uma revolução. Transporte radial.

EN–02R · Simulação dinâmica numérica

Síntese do estudo

Objetivo: Combinar transporte angular anti-horário e deslocamento radial, mantendo a geometria do EN–02.
Método: Mesmos parâmetros físicos e estado inicial; φₐ = −12πs e φᵣ = −πs, com s = 10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵ e τ = t/120. Integração dinâmica e comparação dos passos 0,002/0,001 s.
Resultados obtidos: A esfera completa +360° em 120 s, com raio do centro de 1,110 para 1,970 m. Desvio radial máximo da cavidade: 0,901 mm; reação normal mínima: 9,810 N; margem radial mínima aos bordos: 0,310 m. Diferença máxima entre passos: 1,61 × 10⁻¹⁰ m; resíduo energético: 1,49 × 10⁻⁷ J.
Âmbito e limitações: O contacto mantém-se no modelo de referência a μ = 0,15. A trajetória resulta das equações dinâmicas, mas depende das hipóteses de contacto e atrito. A comparação com EN–02 inclui também a inversão do sentido angular.

Mesma geometria, esfera e parâmetros físicos do EN–02. Alteram-se apenas as leis de fase: movimento angular anti-horário visto de +Z para o plano XY, com fase radial a variar −π rad para deslocar a cavidade para fora.

Exemplo em unidades SI · m = 1 kg · raio da esfera = 0,12 m · gravidade = 9,81 m/s²

Coeficiente de atrito μ 0,15

Referência ilustrativa: μ = 0,15, adimensional. Altere para recalcular o ciclo; μ = 0 corresponde à ausência de atrito. Este valor não é uma medição do par tecido–metal.

VistaAspeto da superfície

Mostrar trajetóriaVetor solidário com a esfera

A preparar o cálculo da trajetória…

Referencial fixo: X × Y = Z, +Z para cima. O deslocamento angular positivo é anti-horário visto de +Z. A seta dourada está solidária com a esfera; não é o eixo Z fixo.

O traço colorido mostra a trajetória calculada do centro até ao instante selecionado, projetada sobre a superfície para ser visível; não é uma linha de contacto na membrana atual.

Raio do centro—

Fase radial—

Deslizamento no contacto—

Força de atrito—

Rotação própria acumulada—

Velocidade angular própria—

Deslocamento da esfera—

Rotação do padrão—

Tempo físico—

Velocidade da esfera—

Reação normal—

Percorrer o ciclo

Descarregar resultados CSV Parâmetros e verificação

Modelo de atrito, rotação e método numérico

Geometria e condições iniciais inalteradas: γ = 0°, A = 0,18 m, Kᵣ = 1, Kₐ = 6. Com τ = t/120 e s = 10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵, φₐ = −12πs e φᵣ = −πs. Logo αp = π/6 + 2πs e Rp = 0,43 + 0,86s m. A cavidade desloca-se para fora durante +360°; estas são trajetórias geométricas, não coordenadas impostas à esfera.

O EN–02 acima mantém-se inalterado, incluindo a convenção horária. O EN–02R inverte a fase angular e acrescenta a fase radial. Ambos partem exatamente da mesma superfície e estado da esfera. Trata-se de verificação numérica de um modelo terrestre idealizado, não de validação experimental ou em microgravidade.

Reproduzir a verificação · Node.js

Verificação de referência (μ = 0,15): +360° em 120 s; raio do centro 1,110 → 1,970 m; desvio radial máximo relativamente à cavidade 0,901 mm; reação normal mínima 9,810 N; margem radial mínima do envelope da esfera aos bordos do anel 0,310 m. A comparação entre Δt = 0,002 s e 0,001 s dá uma diferença máxima de posição inferior a 2 × 10⁻¹⁰ m; este teste verifica a integração temporal, não todos os erros do modelo.

EN–02 / EN–02R

Comparar trajetórias circular e em espiral

Síntese comparativa: o EN–02 mantém aproximadamente o raio, enquanto o EN–02R o aumenta em 0,860 m durante uma volta. As vistas partilham o tempo; os sentidos angulares são opostos e estão identificados. Não se trata de uma terceira simulação independente.

Casos de referência sincronizados · μ = 0,15 · superfície e esfera originais. Circular: EN–02 (horário); espiral: EN–02R (anti-horário). Os traços mostram os percursos calculados dos centros, não pontos de contacto.

VistaAspeto da superfície

Circular · EN–02

—

Espiral · EN–02R

—

Tempo comum

Os dados de referência carregam quando a comparação fica visível.

EN–02 · CSV

Resultados numéricos

Leitura dos resultados do EN–02: posição, velocidade, contacto, rotação e energia a partir do CSV. Os gráficos mostram o conjunto carregado ou o caso recalculado; não são um estudo independente.

Evolução temporal dos dados CSV do ensaio EN–02, sobre a superfície contínua. Caso de referência: massa 1 kg, raio 0,12 m, atrito μ = 0,15, duração 120 s. Estes dados não descrevem o vídeo do mecanismo de pinos. São representadas todas as amostras registadas. Resultados numéricos, não medições experimentais.

Origem dos dados Descarregar CSV de referência

A carregar CSV…

Consultar instante

Desfasamento angular = ângulo da esfera − ângulo do padrão; os ângulos negativos indicam o sentido de transporte adotado. A rotação própria acumulada é o percurso angular total, não a orientação final. A energia é representada relativamente ao valor inicial. Cada gráfico tem a sua própria escala vertical.

04 · Desenvolvimentos futuros

Espaço preparado para estudos analíticos, numéricos e experimentais seguintes.

Áreas de investigação previstas

As áreas seguintes ainda não têm resultados atribuídos. Cada estudo futuro seguirá a mesma estrutura de objetivo, método, resultados e limitações, com dados versionados e código reprodutível.