CREATIO · CT–01

CT–01 · NOTA TÉCNICA

Formalização matemática

Versão 0.1 · 19 setembro 2026 · Formulação preliminar para revisão

Esta nota sistematiza a parametrização CREATIO e propõe uma primeira estrutura de análise. As relações cinemáticas resultam da regra da cadeia; o modelo dinâmico abaixo é uma aproximação de massa pontual sobre uma superfície de movimento prescrito.

1. Geometria e parâmetros

A superfície CREATIO é descrita pela parametrização $c (α, R, t)$ em coordenadas cartesianas. O parâmetro $R$ mede a distância ao raio interior na superfície de referência; $α$ é a coordenada angular e $t$ representa o tempo.

0 < R_{0} < R_{1}, Δ R = R_{1} - R_{0}

R \in [0, Δ R], α \in [0, 2 π]

A \geq 0, K_{r}, K_{a} \in N_{>0}, t \geq 0

A ondulação combina uma componente radial e uma componente angular:

W (α, R, t) = A \sin (\frac{2 π K_{r} R}{Δ R} + φ_{r} (t)) \cos (K_{a} α + φ_{a} (t))

(1)

A inclinação $γ (t)$ transforma o plano radial–vertical. Definindo o raio projetado:

ρ (α, R, t) = R_{0} + R \cos (γ (t)) - W (α, R, t) \sin (γ (t))

(2)

c (α, R, t) = (\begin{array}{c} ρ (α, R, t) \cos (α) \\ ρ (α, R, t) \sin (α) \\ R \sin (γ (t)) + W (α, R, t) \cos (γ (t)) \end{array})

(3)

No caso de referência $γ \equiv 0$ , a expressão reduz-se a:

c (α, R, t) = (\begin{array}{c} (R_{0} + R) \cos (α) \\ (R_{0} + R) \sin (α) \\ W (α, R, t) \end{array})

(4)

$A$ é a amplitude; $K_{r}$ e $K_{a}$ são os números de ciclos radial e angular. As fases $φ_{r} (t)$ e $φ_{a} (t)$ e a inclinação $γ (t)$ são funções reais do tempo. Todos os ângulos nas equações são expressos em radianos.

A periodicidade angular é assegurada por $K_{a} \in N_{>0}$ : os extremos $α = 0$ e $α = 2 π$ representam a mesma posição. Na família inclinada considera-se $- \frac{π}{2} \leq γ (t) \leq \frac{π}{2}$ .

Na animação, uma fase pode variar linearmente; a inclinação pode oscilar sinusoidalmente:

φ_{a} (t) = φ_{a} (0) + ω t

(5)

γ (t) = γ_{0} + G \sin (Ω t)

(6)

Aqui, $ω$ é a taxa de variação da fase, $Ω$ a frequência angular da oscilação e $G$ a amplitude angular não negativa, com $| γ_{0} | + G \leq \frac{π}{2}$ . A fase radial admite a mesma lei linear. Estes modelos descrevem a evolução geométrica; não constituem uma simulação das forças de contacto.

2. Regularidade e orientação da superfície

Admite-se uma parametrização duas vezes continuamente diferenciável no domínio de análise. A normal unitária é definida nos pontos regulares por:

n = \frac{c_{α} \times c_{R}}{‖ c_{α} \times c_{R} ‖}, ‖ c_{α} \times c_{R} ‖ > 0

(7)

Os índices α e R indicam derivadas parciais. A normal pode ser invertida para apontar para o lado acessível à massa. A regularidade local, a ausência de auto-interseções e os limites de deformação devem ser verificados para cada conjunto de parâmetros.

3. Cinemática: superfície, padrão e massa

Considere-se q = (α, R) e a trajetória x(t) = c(q(t), t). Nos índices seguintes, q₁ = α e q₂ = R; índices repetidos i, j representam somas de 1 a 2. As derivadas temporais parciais são calculadas mantendo q fixo.

\dot{x} = c_{t} + c_{i} \dot{q_{i}}

(8)

\ddot{x} = c_{tt} + 2 c_{ti} \dot{q_{i}} + c_{ij} \dot{q_{i}} \dot{q_{j}} + c_{i} \ddot{q_{i}}

(9)

Aqui cᵢ = ∂c/∂qᵢ, cᵢⱼ = ∂²c/(∂qᵢ∂qⱼ), cₜᵢ = ∂²c/(∂t∂qᵢ) e cₜₜ = ∂²c/∂t². Os pontos sobre q indicam derivadas totais no tempo. A velocidade cₜ é a velocidade da parametrização a coordenadas fixas; só coincide com a velocidade material da membrana se essas coordenadas identificarem pontos materiais.

Para Kₐ constante e uma fase angular constante do padrão, Kₐαₚ + φₐ(t) = constante, obtém-se:

{\dot{α}}_{p} = - \frac{\dot{φ_{a}}}{K_{a}}

(10)

Esta é a velocidade angular do padrão de fase. Não determina a velocidade de uma esfera nem garante que esta acompanhe uma cavidade. A sua trajetória depende das condições iniciais, das forças e do contacto.

4. Modelo dinâmico inicial

Hipóteses: referencial inercial; superfície prescrita; massa pontual m constante; contacto mantido numa região regular; reação normal ideal. A deformação da membrana causada pela carga e a dinâmica dos atuadores não estão incluídas nesta primeira aproximação.

T = \frac{m}{2} {‖ c_{t} + c_{i} \dot{q_{i}} ‖}^{2}, L = T - V

(11)

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = Q_{i}

(12)

V(q,t) é a energia potencial avaliada sobre a superfície. Qᵢ = fₙ꜀ · cᵢ representa a força generalizada não conservativa. Para deslizamento ideal sem atrito e sem outras forças não conservativas, Qᵢ = 0. Em gravidade uniforme, V = −m g · c. Como a superfície se move, a energia mecânica da massa não é, em geral, conservada: há trabalho da atuação.

m \ddot{x} = m g + N n + f_{τ}, N \geq 0

(13)

Nesta escrita, N é a reação normal e fτ é a força tangencial de contacto; consideram-se apenas gravidade e contacto. Se a solução exigir N < 0, o contacto unilateral deixa de ser admissível e deve ser tratada a separação. Uma esfera de raio finito exige uma superfície deslocada para o centro, inércia de rotação e uma lei de atrito/rolamento: não se identifica o centro da esfera com c.

5. Extensão aeroespacial

\dot{H_{O}} = τ_{ext,O}

(14)

Hₒ é o momento angular total e τext,O o momento das forças externas, ambos relativos a uma origem O fixa num referencial inercial. O sistema completo deve incluir estrutura, membrana, atuadores e massas móveis. Na ausência de momento externo, Hₒ conserva-se; movimentos internos podem redistribuir momento angular e alterar a orientação. O cálculo da atitude requer um modelo acoplado, não apenas a animação geométrica.

Em microgravidade, o mecanismo que mantém as massas em contacto deve ser explicitado — por exemplo, confinamento mecânico ou interação magnética modelada. As hipóteses desta nota são propostas de trabalho, não resultados de validação do CREATIO.